Les opérateurs booléens vérifient la propriété de distributivité suivante, qui est vraie pour tous booléens a, b et c :
$$\text{a et (b ou c) = (a et b) ou (a et c)}.$$
Recopier et compléter les tables de vérité suivantes pour démontrer cette égalité :
| a | b | c | b ou c | a et (b ou c) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 1 | ||
| 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 |
| a | b | c | a et b | a et c | (a et b) ou (a et c) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 0 | 1 | |||
| 0 | 1 | 0 | |||
| 0 | 1 | 1 | |||
| 1 | 0 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 1 |
1. Rappeler la table de vérité de l'opérateur xor.
2. Construire, comme dans l'exercice précédent, la table de vérité de (a et non b) ou (non a et b) et vérifier que l'égalité suivante est vraie :
$$\text{a xor b = (a et non b) ou (non a et b)}.$$
Dans cet exercice, les expressions sont écrites dans le langage Python.
1. Expliquer pourquoi l'expression 3 == 3 or x == y est vraie pour toute valeur de x et de y.
2. Expliquer pourquoi l'expression 1 == 2 and x == y est fausse pour toute valeur de x et de y.
Lorsque Python évalue une expression booléenne, il le fait de façon paresseuse. C'est-à-dire que si la partie gauche d'un
orest vraie, il n'évalue pas la partie droite. De même, si la partie gauche d'unandest fausse, la partie droite n'est pas évaluée.On peut le voir facilement : dans l'expression booléenne suivante, si la partie de droite était évaluée, Python aurait renvoyé une erreur de type
ZeroDivisionError:>>> x = 0 >>> 2 == 2 or 1/x > 0 # 2 == 2 est vrai donc 1/x > 0 n'est pas évalué True
1. Écrire en Python une fonction xor(a, b) qui renvoie la valeur de l'opération logique a xor b, où a et b sont deux booléens représentés par 0 et 1.
Exemples :
>>> xor(1, 0)
1
>>> xor(1, 1)
02. L'opérateur non-et, que l'on écrit nand en anglais (contraction de not and), est la succession des opérateurs et puis non. On a donc pour tout booléen a et b :
$$\text{a nand b = non (a et b)}$$
2a. Donner la table de vérité de l'opérateur nand.
2b. Écrire une fonction Python nand(a, b) qui renvoie la valeur de a nand b, où a et b sont deux booléens représentés par 0 et 1.
Exemple :
>>> nand(1, 0)
1Une porte NAND permet de réaliser l'opération logique nand (ou non-et en français). On rappelle (voir exercice précédent) que cet opérateur est défini de la manière suivante :
$$\text{a nand b = non (a et b)}$$
1. Construire avec le simulateur une porte NAND (ou NON-ET) en utilisant une porte NON et une porte ET. Le circuit est à recopier sur votre feuille.
2. Vérifier, avec le simulateur, que le circuit est correct en comparant avec la table de vérité construite dans l'exercice précédent.
L'objectif de l'exercice est de démontrer la loi de De Morgan suivante :
Pour tous booléens $a$ et $b$, on a : $\text{non (a et b) = (non a) ou (non b)}$.
Le circuit ci-dessous correspond à l'expression booléenne non (a et b) (celle de gauche dans l'égalité) :
1. Construire le circuit correspondant à l'expression booléenne (non a) ou (non b) (celle de droite dans l'égalité). Le circuit est à recopier sur votre feuille.
2. Vérifier, en utilisant le simulateur, que les deux circuits sont équivalents, c'est-à-dire qu'ils ont la même table de vérité.
1. Construire le circuit correspondant à l'expression (a et non b) ou (non a et b). Le circuit est à recopier sur votre feuille.
2. Vérifier, en utilisant le simulateur, que ce circuit est équivalent à une porte XOR.
Dans cet exercice on considère le circuit suivant, appelé comparateur, qui permet de comparer des mots binaires (a1, a0) et (b1, b0) de longueur 2. Le bit de sortie :
1. Construire ce circuit avec le simulateur.
2. Recopier et compléter (en utilisant directement le simulateur) la table de vérité de ce circuit.
| a1 | a0 | b1 | b0 | sortie |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
3. Expliquer, en s'appuyant sur la table de vérité, pourquoi ce circuit permet bien de comparer deux mots binaires de longueur 2.
On peut comparer des mots de longueur supérieure à deux en ajoutant d'autres portes NON XOR (notée aussi NON OU exclusif ou encore XNOR).
4. Donner une expression booléenne écrite en Python qui nécessiterait d'utiliser un tel circuit logique pour être évaluée.
En utilisant des portes NON, ET, OU, dessiner un circuit logique qui a 4 entrées A, B, C et D et dont la sortie S vaut 1 si et seulement si au moins une des entrées est non nulle.
Pour celles et ceux qui souhaiteraient aller approfondir les notions de ce chapitre, vous pouvez chercher les exercices suivants, élaborés par Romain Janvier, qui propose :
Références
Germain Becker, Lycée Emmanuel Mounier, Angers.
Voir en ligne : info-mounier.fr/premiere_nsi/types_base/booleens-exos.php